حساب المساحات والحجوم للاشكال الهندسية

وهي قوانين وحسابات توضح قيمة كل شكل هندسي ويمكن استخدام قوانين المساحات في الحياة العملية من حساب مساحات القطاعات التالية

حساب أعماق الحفر وارتفاعات الردم

بعد رسم شكل الأرض الطبيعية وخط الانشاء في ورقة الرسم , تنتج لنا مجموعة قطاعات كلها حفر أو كلها ردم أو بعضها حفر وبعضها ردم  أنظر الشكل التالي ) من خلال النظر للأشكال الثلاثة , يتضح أن الفرق الرأسي بين منسوب خط الارض ومنسوب خط الانشاء ,

 قد يكون عمق حفر او ارتفاع ردم , ويمكن عند حساب ذلك ان يكون عمق الحفر وارتفاع الردم كما يلي :

حساب مساحة القطاع 

عادة مايكون القطاع مستطيل الشكل او شبه منحرف , ويرجع ذلك الي نوع المشروع وطبيعة التربة صخرية أم رملية أم طينية , ففي حالة الحفر في تربة صخرية تكون جوانب الحفر رأسية لتماسك التربة , فيكون القطاع مستطيل الشكل , أما في حال كون التربة ضعيفة تكون جوانب الحفر أو الردم مائلة ,

 وعادة ما يكون مقدار الميل الجانبي 1/1  ,  1/2   ,  2/3   فينتج في هذه الحالة قطاع تصميمي علي شكل شبه منحرف , أنظر الشكل التالي :

قطاع تصميمي مستطيل الشكل

مساحة الحفر = عمق الحفر × عرض القطاع 

مساحة الردم = ارتفاع الردم × عرض القطاع 

قطاع تصميمي مستطيل الشكل

قوانين :

مساحة الحفر =عمق الحفر × ( عرض الطريق +_( الميل الجانبي × عمق الحفر ) 

مساحة الردم =  ارتفاع الردم × ( عرض الطريق +_( الميل الجانبي × ارتفاع الردم )

حساب الحجوم :

حساب الاحجام أو حساب الكميات من أهم الخطوات التنفيذية في المشاريع الهندسية , أّذ يترتب عليها حساب التكاليف المادية لآحجام الحفر والردم , وتختلف التكاليف باختلاف الأراضي وعوامل أخري .

بعد مساحة كل قطاع من قطاعات المشروع , ينتج لنا شكل غير منتظم , حيث يتكون منشور قائم بين كل قطاعين , حجمه يكافئ حجم متوازي المستطيلات , ومساحة قاعدته هي مساحة القطاع الأوسط وارتفاعه هو المسافة الجزئية بين القطاعين ,

مقطاعان متتاليان في منطقة ردم كامل

                مجموع مساحتي القطاعين

الحجم بيم كل قطاعين متتالين =  __________________ × المسافة الجزئية

                          2

ويكون الحجم الكلي هو ناتج جمع الحجوم بين تلك القطاعات , إلا أن استخدام القانون السابق لا يمكن إلا أن يكون ما بين القطاعين كله حفر أو كله ردم , 
أما اذا اجتمع بين قطاعين حفر وردم وذلك بتقاطع سطح الارض مع خط الأنشاء , فلابد من حساب مسافتي التقاطع وبالتالي حساب حجم جزء الحفر وحجم جزء الردم .

حيث :

ل : المسافة الجزئية           م1  :   مساحة الحفر 

س1 :  مسافة الحفر           م2 : مساحة الردم

س2 : مسافة الردم

                                  م1  ×  ل 

مسافة الحفر (س1) = ____________ 

                                 م1  × م2

                                   م2 × ل 

مسافة الردم (س2) =  ____________

                                   م1 × م2

يجب التحقق من ل = س1 س2

                       م1  ×  س1

حجم جزء الحفر =  _____________

                     2

                           م2   ×  س2

حجم جزء الردم =  __________

                   2

فيكون إجمالي حجم الحفر هو حاصل جمع أحجام الحفر , وأجمالي حجم الردم هو حاصل جمع أحجام الردم.

مثال 2: 

تم الرصد بأعمال الميزانية لقناة ري بطول 120 م , مجزأة علي خمس نقاط المسافة الجزئية بينها 30 م , سجلت الأرصاد كما في الجدول 

جدول أرصاد ميزانية لمحور طولي بطريقة - سطح الميزان

المطلوب :

1 - حساب مناسيب الأرض الطبيعية وعمل التحقيق الحسابي , غلما أن منسوب الروبير 80 م 

2- حساب مناسيب خط الإنشاء , حيث منسوب النقطة الأولي 

3- رسم القطاع بمقياس رسم أفقي 1:200 , ورأسي 1:25 

4- حساب أعماق الحفر وارتفاعات الردم عند كل نقطة .

5- حساب مساحة كل قطاع , حيث القطاع مستطيل الشكل ذو عرض 1.2 م .

6- حساب حجم الحفر وحجم الردم بين كل قطاعين 

7- حساب إجمالي حجم الحفر وحجم الردم .

الحل :

1- مناسيب الأرض الطبيعية كما هو في الجدول 

جدول أرصاد ميزانية لمحور طولي بطريقة - سطح الميزان

التحقيق الحسابي :

1- مجموع المؤخرات - مجموع المقدمات = 0.02

2- منسوب أخر نقطة - منسوب أول نقطة = 0.02

2- مناسيب خط الإنشاء 

منسوب أي نقطة  =  منسوب النقطة الأولي +_ ( الميل × المسافة التراكمية )

منسوب النقطة الأولي = 79,80

منسوب النقطة الثانية = 79.80 + (0.01 × 30 ) = 80.10 متر

منسوب النقطة الثالثة = 79.80 + (0.01×60)   = 80.40 متر 

منسوب النقطة الرابعة = 79.80 +(0.01 × 90 ) = 80.70 متر

منسوب النقطة الخامسة = 79.80 + (0.01 × 120 ) = 81 متر

رسم القطاع الطولي 

يتم رسم محور أفقي وأخر رأسي ثم يوقع عليه سطح الأرض وخط الإنشاء كما هو مبين في الشكل التالي :

مساحة القطاع (3) = 1.20 × 1.40 = 1.68 م2

مساحة القطاع (4) = 1.20 × 1.06 = 1.272 م2

مساحة القطاع (5) = 1.20 × 1.60 = 1.92 م2

6- حساب حجم الردم بين كل قطاعين 

            مجموع مساحتي القطاعين

حجم الردم بين كل قطاعين =  _________________   × المسافة الجزئية

              2 

                    0.60  + 0.516

الحجم بين القطاع الأول والثاني =  _______________ × 30 = 16,74 م3

                2 

                   0.516  +  1,68

الحجم بين القطاع الثاني والثالث = _____________    × 30  = 23.94 م3

              2

                1.68  +  1.272

الحجم بين القطاع الثالث والرابع =  _____________   × 30   =  44.28 م3

             2

                         1.272 +  1.92

الحجم بين القطاع الرابع والخامس =  _______________  × 30  = 47.88م3

                  2

إجمالي حجم الردم 

إجمالي حجم الردم  =  مجموع الأحجام بين القطاعات 

إجمالي حجم الردم  = 16.74  +  32.94  +  44.28   + 47.88  =  141.84 م3

مثال (3)

جزء من قناة صرف بطول 40 متر , يحوي خمس نقاط المسافة الجزئية بينها  10 أمتار , تم الرصد بأعمال الميزانية لهذه  النقاط , فكانت الأرصاد , كما هو في الجدول 

جدول أرصاد ميزانية لمحور طولي بطريقة - سطح الميزان 

المطلوب : 

1- حساب مناسيب الأرض الطبيعية إذا كان منسوب الروبير 20 متر .

2- حساب مناسيب خط الإنشاء , حيث منسوب النقطة الأولي 19.50 متر , والميل 2% للأسفل 

3- رسم القطاع الطولي بمقياس رسم أفقي 250:1 رأسي 1:20

4- حساب أعماق الحفر وارتفاعات الردم 

5- حساب مساحة كل قطاع , حيث القطاع مستطيل الشكل ذو عرض 1,75 متر 

6- حساب حجم الحفر الحفر وحجم الردم 

7- حساب حجم جزء الحفر وحجم وجزء الردم 

8-- حساب إجمالي حجم الحفر وحجم الردم 

الحل :

1- مناسيب الأرض الطبيعية كما في الجدول 

جدول أرصاد ميزانية لمحور طولي بطريقة - سطح الميزان 

التحقيق الحسابي :

1- مجموع المؤخرات - مجموع المقدمات = 0.0

2- منسوب أخر نقطة - منسوب أول نقطة  = 0.0

2- مناسيب خط الإنشاء 

منسوب أي نقطة  = منسوب النقطة الأولي +_  ( الميل  × المسافة التراكمية )

منسوب النقطة الأولي =  19.50 

منسوب النقطة الثانية = 19.50   -  ( 10×0.02 ) = 19.30 متر 

منسوب النقطة الثالثة = 19.50  -   ( 0.02 × 20 ) = 19.10 متر

منسوب النقطة الرابعة = 19.50 - (0.02 × 30 ) = 18.90 متر 

منسوب النقطة الخامسة = 19.50 - ( 0.02 × 40 ) = 18.70 متر 

3 - رسم القطاع الطولي 

يتم رسم محور أفقي وأخر رأسي ثم يوقع عليه سطح الارض وخط الأنشاء كما هو مبين في الشكل التالي :

القطاع الطولي

حساب أعماق الحفر وارتفاعات الردم 

ارتفاع الردم = منسوب خط الإنشاء - منسوب الأرض الطبيعية 

عمق الحفر = منسوب الارض الطبيعية - منسوب خط الإنشاء 

ارتفاع  الردم (1) = 19.50 - 19.09  =  0.41 متر 

ارتفاع  الردم (2) = 19,30 - 18,89 = 0,41 متر

ارتفاع الردم (3) = 19,10 - 18,29  = 0,61 متر

عمق الحفر (4)  = 18,90 - 19,59  = 0,69 متر

عمق الحفر (5)  =  18,70 - 18,90 = 0,20 متر 

5- حساب مساحة القطاعات 

مساحة القطاع  = عرض القطاع  × ارتفاع الردم أو عمق الحفر

مساحة القطاع (1) = 1.75  × 0.41 = 0.718 م2

مساحة القطاع (2) = 1,75 × 0,41 = 0,718 م2

مساحة القطاع (3) = 1,75  × 0,61 = 1.068 م2 

مساحة القطاع (4) = 1,75 × 0.69 = 1.208 م2

مساحة القطاع (5) = 1,75 × 0,2 = 0,35 م2

6- حساب الحجم بين كل قطاعين :

           مجموع مساحتي القطاعين

الحجم بين كل قطاعين =  ____________________  × المسافة الجزئية

              2

              0.718    +  0.718

الحجم بين القطاع الاول والثاني  = ______________ × 10 = 7,18 م3 (ردم)

              2

           0,718   +  1,068

الحجم بين القطاع الثاني والثالث =  _____________  ×   10  = 9.93 م3 (ردم)

             2

               1,208    +  0.35

الحجم بين القطاع الرابع والخامس = __________  × 10 =  7,79م3  (حفر)

                2

7- لآبجاد الحجم الجزئي للحفر والردم بين (3) , (4) لابد من ايجاد مسافتي الحفر والردم 

 م3  +  ل                1,068   ×   10

      س1  =  ___ _______       =    _____________     =     4.692   متر

   م3   + م4        1.068        +   1.208      

  م4    +   ل                               1.208    ×      10

     س2 =    ___________    =        _______________  =     5.308 متر

  م 3 + م 4                      1,068    +  1.208

س1  +  س2  =   4.692     +    5.308  =  10 أمتار 

8- إجمالي حجم الردم 

إجمالي حجم الردم = مجموع الأحجام بين القطاعات 

إجمالي حجم الردم  =  7,18  +  8,93   + 2,506  =  18.616 م3

إجمالي حجم الحفر = 7,79  + 3,206 = 10.996 م3