قياس الزوايا

انظمة ووحدات القياس الزاوي:

النظام الستيني :

وهذا النظام قديم , وفي هذا النظام بتم تقسيم الدائرة الي 360 قسما متساويا يسمي كل قسم درجة , وتقسم الدرجة الي 60 قسما متساويا ويسمي كل قسم دقيقة ستينية , ثم تقسم الدقيقة الي 60 قسما متساويا حيث يسمي كل قسم ثانية ستينية , ثم تقسم الدقيقة الي 60 قسما متساويا حيث يسمي كل قسم ثانية ستينية , كما بالشكل التالي

تقسيم الدائرة في النظام الستيني

والزاوية القائمة في هذا التقسيم = 90 درجة . ورغم أن هذا النظام قديم إلا انه قديم إلا انه لا يمكن الاستغناء عنه لآنه أساسي في الأرصاد الفلكية لسهولة تحوبله الي الحسابات الزمنية الفلكية . وكذلك لآن قياسات خطوط الطول وخطوط العرض قد تثبت علي اساس التقدير الستيني . وأيضا فإن حسابات الأزمنة والمواقيت تستخدم هذا النظام .

وتكتب الزوايا في النظام الستيني علي هذا الشكل  33 28 74ْ 

النظام المئوي ( جراد)

وهذا التقسيم حديث وقد بدأ استخدامه حوالي العام 1361 ه , ويستخدم بكثرة في الدول الأوروبية , وفي هذا النظام يتم تقسيم الدائرة الي 400 قسم متساو يسمي كل قسم درجة مئوية أو جراد ويمز لها بالرمز (g) وتقسم الدرجة المئوية الي 100 قسم متساوي ويسمي كل قسم دقيقة مئوية أو سنتيجراد ويرمز لها بالرمز (CC) كما بالشكل التالي :

تقسيم الدائرة في النظام المئوي

وتكتب الزوايا في هذا النظام علي هيئة عشري مثل :

        112,3826 جراد

أو علي الشكل التالي ولكن ليس ضرورة :

         26 ’’  38 ’  112ْ

وعادة يكتفي بكتابة الزاوية في الصورة العشرية للسهولة .

النظام الدائري ( الراديان) :

التقدير الدائري لآي زاوية هو النسبة بين طول القوس الذي يقابل هذه الزاوية والمقطوع من دائرة مركزها رأس هذه الزاوية ونصف القطر لهذه الدائرة .

أي أن وحدة التقدير الدائري هي الزاوية المركزية التي تقابل قوسا من محيط دائرة طولة يساوي نصف قطر هذه الدائرة , أنظر الشكل التالي :

وبما أن :

محيط الدئرة = 2 ط نق

حيث نق  =  نصف قطر الدائرة ,

ط = 3,141592654 ( ط نسجلة في الالات الحاسبة ويرمز لها بالرمز p (

وحيث إن :

الراديان الواحد = طول قوس من محيط طوله نق 

عدد أقسام محيط الدائرة = 

2 ط نق  ÷ نق = 2 ط

وعلي ذلك فإن الزاوية الكلية للدائرة والتي تقابل محيط الدائرة تقسم إلي أجزاء متساوية عددها 2 ط 

وبذلك فإن محيط الدائرة =

2 × 3,141592654 = 6,283185307 راديان

انظر الشكل التالي :

تقسيم الدائرة في نظام الراديان

وتكتب الزوايا في هذا النظام علي هيئة كسر عشري مثل 0.2658941 راديان

العلاقة بين وحدات قياس الزوايا :

مما سبق نستنج العلاقات التي تربط بين مختلف هذه الأنظمة حيث إن كل منها يمثل محيط دائرة كاملة ويمكن تمثيلها في المعادلة التالية :

360 درجة = 400 جراد = 2 ط

ومنها نستنج العلاقات التالية :

(أ) العلاقة بين الستيني والنظام المئوي :

360 درجة ستيني = 400 درجة مئوي 

ومنها أن : 1 جراد = 360 ÷ 400 = ( 9 ÷ 10 ) 09 ْ ( 0,9 درجة ستينية )

0,01 g =     1 ’  =  0,009  =  32,4

0,0001 g  = 1 ’’ = 0,00009 ْ  = 0, 32

1 ْ درجة ستينية = 400 ÷ 360  = ( 10 ÷ 9 ) 1,11 ْ جراد 

(ب) العلاقة بين النظام الستيني ونظام الراديان :

360 ْ  = 2 ط = 6,283185307 راديان 

ومنها أن 

1 ْ  = 2 ط  ÷ 360 = ط ÷ 180 = 0,017453292 راديان

1 راديان  = 360  ÷ 2ط  = 180  ÷ ط  = 44,81  ْ  17   57 ْ  

العلاقة بين النظام المئوي ونظام الراديان

400 جراد = 2 ط

ومنها أن  :

1 g   جراد  = 2 ط  ÷ 400  =  ط  ÷  200  =  0,015707963 راديان 

1 راديان  =  400   ÷  2 ط  = 200 ÷  ط    =  63,6620   جراد

أمثلة محلولة وتطبيقات علي التحويل بين أنظمة قياس الزوايا :

مثال 1:

تم تعيين الزاوية الأفقية بين نقتين من نقاط مضلع باستخدام جهاز الثبودوليت مزود بنظام قراءة ستيني فكانت 20’ 18 64 ْ  والمطلوب إيجاد قيمة هذه الزاوية بالتقدير المئوي ثم بالتقدير الدائري ( الراديان)

الحل :

لآجراء عملية التحويل نبدأ أولا بتحويل الزاوية الي درجات في صورة كسري عشري باستخدام وظيفة اللالة الحاسبة (,’’’’’’) والموجودة في معظم الالات الحاسبة , حيث يتم استخدام هذه الوظيفة ( الفواصل) في اللالة الحاسبة لتحويل الزوايا الستينية من درجات ودقائق وثوان الي درجات في صورة عشرية وذلك حتي يمكن التعامل مع الزوايا حسابيا وكذلك في عمليات إيجاد الدوال المثلثية لها مثل  SIN COS . TAN وتتم عملية التحويل كما يلي وذلك للزاوية 20’ 18 64ْ 

1- نكتب جزء الدرجات من قياس الزاوية (64) ثم نضغط زر الفواصل فيكون الناتج  64,000000ْ0

2- ثم نكتب جزء الثواني الدقائق من قياس الزاوية (18) ثم نضغط زر الفواصل فيكون الناتج 64,3000000ْ

3- ثم نكتب جزء الثواني من قياس الزاوية (20) ثم نضغط زر الفواصل فيكون الناتج 64,3055556

وبذلك نحصل علي مقدار الزاوية مقدرة بوحدة الدرجة وكسر الدرجة (64,3055556) 
                    وحيث إن 1ْ  =  ( 10 ÷ 9 ) جراد 

اذا الزاوية الستينية ( 20’ 18 64ْ ) = 64,3055556 × (10÷9)

                                             = 71,45061729 جراد  أو    =  ,6 ْْ     45ْ   71g

وخيث إن  1ْ  =  ( ط  ÷  180 )

اذا الزاوية الستينية ( 20’  18 ’  64 ْ ) =  64,3055556 × ( ط ÷ 180 )

                                                 =  1,122343672 راديان

مثال 2 :

تم تعيين زاوية أفقية بجهاز الثيودوليت ذي نظام مئوي فكانت  45ْْ  80ْ  171g    والمطلوب إيجاد مقدار هذه الزاوية بالتقدير الستيني ,

الحل /

حيث إن 1g   = 

                   (9 ÷ 10 ) دؤجات ستيني 

الزاوية المئوية   45 ْ ْ  80 ْ 171 g = 

                                             = 171,8045 × (9÷10)

                                             = 154,62405  = 27’  37 ’  154ْ