طرق حساب الكميات

يطلب من المساح في كثير من الاعمال والمشاريع المساحية والهندسية حساب حجم الحفر او حجم الردم لمناطق مطلوب حفرها او تم حفرها او لمتطلبات اعمال مشروعات تمديدات كابلات الهاتف والكهرباء وخطوط المياه والصرف الصحي وانشاء الجسور والطرق ووضع قواعد المنشأت او غيرها مثل انشاء خزان ارضي او بركة سباحة او خلافة 

وفي كثير من الاحيان تكون هذه الاعمال الحفرية علي شكل متطابق مع احد اشكال المجسمات الهندسية المنتظمة مثل المكعب ومتوازي المستطيلات والمنشور والاسطوانة والهرم والمخروط والكرة

ويوجد العديد من اشكال المجسمات ,فمنها ماليس لها شكل هندسي منتظم مثل قطعة من الصخر واحواض تخزين المياه امام السدود ومنها مايميز بان له شكلا هندسيا منتظما مثل المكعب ومتوازي المستطيلات والمنشور والهرم والمخروط والكرة , مثلما نشاهد في اعمال قواعد المنشأت والمباني في قطاعات الحفر لمشاريع الطرق وتمديدات شبكات المرافق .

وتحد المجسات سطوح مستوية تسمي اوجه ,وتتقاطع هذه السطوح او الاوجه في مستقيمات تسمي احرف المجسم ,وتتقاطع هذه الاحرف في نقاط تسمي رؤؤس المجسم 

وتعتبر عمليات حساب كميات الاتربة والمياه ومكعبات المباني والمنشأت من الأعمال الهامة الضرورية التي تطلب من المساح . وتوجد العديد من الطرق المستخدمة لأيجاد الكميات والحجوم ويمكن اجمالها فيما يلي:

1- مكعبات الاشكال المنتظمة كما في المنشأت والمباني وهي موضوع هذه الوحدة .

2- المكعبات من القطاعات الطولية والعرضية كما في مشروعات الطرق وتمديدات خطوط الخدمات ومشروعات الري والصرف 

3- المكعبات من مناسيب النقاط كما في مشروعات تسوية الاراضي 

4- المكعبات من خطوط الكنتور كما في عمليات تسوية الاراضي وحساب مكعبات البحيرات امام السدود 

وسوف نشرح طرق ايجاد المجسمات ذات الاشكال الهندسية المنتظمة بعد التعرف علي شكل وخواص كل مجسم من هذه المجسمات او الاجسام وهي في مجملها اجسام منتظمة السطوح اي تكون اشكالا هندسية 

حجم متوازي المستطيلات :

متوازي المستطيلات هو شكل هندسي منتظم يتكون من ستة اوجة كل منها علي شكل مستطيل وكل وجهين متابلين متساويان في المساحة ومتوازيان ولمتوازي المستطيلات اثناعشر حرفا وثمانية رؤؤس

الشكل التالي يبين متوازي مستطيلات ذا الابعاد : الطول (ل) , والعرض (ض) , والارتفاع (ع) , وحجم متوازي المستطيلات يمكن حسابه كما يلي:

حجم متوازي المستطيلات 

           = ( مساحة القاعدة ) × الارتفاع

           = (ل  × ض  )   × ع

حجم متوازي مستطيلات

مثال 1:

لعملية انشاء اساسات مبني , كان شكل قاعدة احدي الاعمدة علي شكل متوازي مستطيلات ابعادها 7×4×2 متر . المطلوب حساب حجم الحفر اللازم لتهيئة الموقع لانشاء هذه القاعدة 

الحل :

حيث ان القاعدة علي شكل متوازي مستطيلات :

حجم القاعدة = مساحة القاعدة × الارتفاع 

                = (ل × ض) × ع

               = 7 × 4 × 2      = 56 متر مكعب

مثال 2 :

خزان مياه ارضي علي شكل متوازي مستطيلات ابعاده 10 × 7 × 5 امتار احسب حجم الخزان , وكذلك احسب حجم الماء الموجود داخل الخزان اذا كان ارتفاع الماء داخل الخزان 3 امتار 

الحل :

حيث ان الخزان علي شكل متوازي مستطيلات :

اولا : حجم الخزان  = مساحة القاعدة × الارتفاع

                        = ( ل × ض) = 350 متر مكعب

ثانيا : حجم الماء الموجود  داخل الخزان = مساحة قاعدة الخزان × ارتفاع الماء داخل الخزان 

                                                   = (10 × 7) ×3   = 210 متر مكعب

حجم المكعب :

المكعب هو عبارة عن متوازي مستطيلات ابعاده (ل , ض,ع ) متساوية . وهو شكل هندسي منتظم يتكون من ستة اوجه متساوية في المساحة , كل منها علي شكل مربع , وكل جهين متقابلين متوازيان وللمكعب اثنا عشر حرفا وثمانية رؤوس 

الشكل يبين مكعبا طول ضلعه (ل) وحجم المكعب يمكن حسابه كما يلي :

حجم المكعب = 

طول الضلع × طول الضلع × طول الضلع 

           = ل × ل ×ل

           =ل

حجم المكعب

مثال 1:

قاعدة عمود خرساني في مبني علي شكل مكعب طول ضلعها 2 متر , المطلوب حساب حجم الحفر اللازم لتهيئة الموع لانشاء هذه القاعدة 

الحل :

حيث ان القاعدة علي شكل مكعب:

حجم القاعدة  = ل × ل× ل

                 = 2 ×2 × 2 = 8 متر مكعب

مثال 2 :

خزان مياه ارضي علي شكل مكعب طول ضلعه 4 امتار احسب اقصي حجم للماء الذي يمكن استيعابه في هذا الخزان .

الحل :

حيث ان الخزان علي شكل مكعب :

اولا : حجم الماء الممكن استيعابه في الخزان  = حجم الخزان = ل × ل× ل

                                                         = 4 ×  4 × 4 = 64 متر مكعب

حجم المنشور ( الموشور)

المنشور هو عبارة عن مجسم كثير الاوجه فيه وجهان متطابقان ومتشابهان ويقعان في مستويين متوازيين ويسمي هذان الوجهان المتطابقان بقاعدتي المنشور , اما الاوجه الباقية فتسمي الاوجه الجانبية للمنشور ,وتسمي المستيمات التي تتقاطع عندها الاوجه الجانبية بأحرف المنشور الجانبية ,اما البعد العمودي بين مستويي الاعدتين فيسمي بارتفاع المنشور 

وقد يكون المنشور قائما او مائلا ,ويسمي المنشور قائما اذا كانت قاعدتيه متعامدتين علي اوجه المنشور الجانبية ,اي ان احرف المنشور تتعامد علي القاعدتين المتوازيتين . وفي المنشور القائم تكون الاوجه الجانبية للمنشور علي شكل مستطيلات , وياس ارتفاع المنشور بطول البعد الرأسي بين القاعدتين .

وكذلك يسمي المنشور منتظما اذا كان قائما وكانت قاعدته مضلعا منتظما , وتصنف المناشير طبقا لشكل قاعدتها , فيكون المنشور ثلاثيا اورباعيا او خماسيا ...... وهكذا اذا كانت علي شكل مثلث او شكل رباعي او شكل خماسي ...... الخ 

الاشكال تبين منشورا ثلاثيا ائما ومنشورا رباعيا قائما

ويمكن حساب حجم المنشور المنتظم الائم كما يلي :

حجم المنشور = مساحة قاعدة المنشور × ارتفاع 

مثال 1 : 

قاعدة عمود خرساني في مبني علي شكل منشور رباعي قائم اعدته عبارة عن مستطيل ابعاده 8 ×6 متر وارتفاع المنشور 2,5 متر . المطلوب حساب حجم الحفر اللازم لتهيئة الموقع لأنشاء هذه القاعدة 

الحل :

حيث ان قاعدة علي شكل منشور رباعي قائم :

حجم القاعدة = مساحة قاعدة المنشور × ارتفاع المنشور 

               = ( 8 ×6) × 2,5 = 120 متر مكعب

مثال 2:

مطلوب حفر خزان مياه ارضي علي شكل منشور رباعي قائم , (كما بالشكل) قاعدته أ ب ج د علي شكل شبه منحرف فيه أ د عمودي علي أ ب ,  و أ د يوازي ب ج , وكان طول أ د = 4 متر وطول ب ج = 2 متر , وطول أ ب = 5 متر , وارتفاع المنشور أ أ = 7 متر , فاحسب حجم الاتربة المطلوب رفعها من موقع هذا الخزان .

الحل :

 مساحة القاعدة (شبه المنحرف) =1/2  × (2 +4 ) × 5

                                          = 15 متر مربع

حجم الاتربة     =  حجم المنشور  = مساحة القاعدة × ارتفاع المنشور 

                     = 15 × 7  = 105 متر مكعب

مثال 3 :

سلم خرساني يتكون من 10 درجات , الدرجة علي شكل منشور ثلاثي قائم ابعاده 0,20 م × 0,15 م × 1,20 م . 

احسب حجم الخرسانة المستخدمة في انشاء هذا السلم 

الحل :

حيث ان درجة السلم علي شكل منشور ثلاثي قائم

اذا حجم درجة السلم = مساحة قاعدة المنشور المثلثة الشكل × ارتفاع المنشور 

                           = (0,5 × 0,20 × 0,15 ) ×1,20 = 0,018 متر مكعب

حجم الخرسانة المستخدمة في انشاء السلم = 0,018 × 10 = 0,18 متر مكعب 

مثال 4:

قاعدة عامود خرساني في مبني علي شكل منشور خماسي منتظم قائم قاعدته عبارة عن شكل خماسي منتظم طول ضلعه 3 امتار وارتفاع المنشور 5 امتار . المطلوب حساب حجم قاعدة العمود الخرساني .

الحل :

حيث ان الاعدة علي شكل منشور خماسي منتظم قائم 

اولا : حساب مساحة قاعدة العمود الخرساني والتي علي شكل خماسي منتظم , حيث :

عدد اضلاع القاعدة الخماسية الشكل (ن) = 5 , ,طول الضلع (ل) = 3 متر 

اذا مساحة القاعدة ( خماسي منتظم ) = 1,25 × ل2 × ظتا 36 ْ

                                                             2

                                              = 1,25 ×3×ظتا 36 = 15,5 متر مربع

ثانيا : حساب حجم قاعدة العمود = 

                                   =     مساحة قاعدة المنشور الخماسية الشكل × ارتفاع المنشور 

                                   =   (15,5) ×50 = 77,5 متر مكعب

سنتكلم في شروحات اخري عن حجم الهرم وحجوم اخري في قسم الحساب المساحي ان شاء الله