Custom Search

قوانين حساب المساحات والحجوم

Posted by


تعتبر العمليات الخاصة بحساب المساحات سواء من الخرائط أو من الطبيعة من العمليات الاساسية في عمل المساح وتتوقف دقة حساب المساحة علي دقة القياس وعلي الرغم من أن أدق الطرق لحساب المساحات هو القياس المباشر من الطبيعة لآطوال وزوايا الشكل المطلوب ايجاد مساحته , إلا أن القياس من الخريطة هو الاكثر شيوعا عند حساب المساحات وذلك لسهولة القياس من الخريطة رغم ما قد يكون بها من أخطاء في الرسم .

وقد تكون قطع الاراضي أو الاشكال المطلوب تعيين مساحتها علي هيئة أشكال هندسية منتظمة أو غير منتظمة الشكل , فالاشكال المنتظمة هي الاشكال البسيطة مثل المثلث . والاشكال الرباعية بأنواعها مثل المربع والمستطيل ومتوازي الاضلاع والمعين وشبه المنحرف أما الاشكال غير المنتظمة فهي الاشكال ذات الحدود المتعددة والمتعرجة والتي لا يمكن وصفها بشكل هندسي او منتظم وفي هذا الدرس سنعرض لطرق حساب مساحة كل منها .

1- مساحة الاشكال المنتظمة 

أ- مساحة أشكال يمكن تقسيمها الي مثلثات :

تتوقف طريقة جساب المساحة للمثلثات علي المعلومات المتاحة في الشكل

وذلك باختيار أحد رؤؤس المضلع وتوصيل هذا الرأس بكل رؤؤس المضلع ثمبقياس جميع الاضلاع يتم حساب مساحة كل مثلث علي حده كما سبق شرح ذلك في مادة الحساب الفني , ثم يتم تجميع مساحات المثلثات المكونة لهذا الشكل فينتج لدينا المساحة الكلية للشكل .

مثال : 

الشكل (4) يوضح قطعة أرض محددة بمضلع أ ب ج د ه غير منتظم وكانت أطوال أضلاعه 15 , 21 , 17 , 22 , 20 متر علي الترتيب , وزاوية أ  قائمة .

وزاوية ب د ه = 70ِ ْ  وتم رسم الخط ب و وقيس طوله فكان ب د ه = 70 ْ وتم رسم الخط ب د  وقيس طوله فكان = 25,6 متر . احسب مساحة قطعة الأرض المحددة بهذا المضلع .

الحل :

حيث أن قطعة الارض محددة بمضلع غير منتظم الشكل , لذلك يتم تقسيمها الي مثلثات , نحسب مساحة كل منها علي حدة , ثم نجمع هذه المساحات لنحصل علي المساحة الكلية لقطعة الارض :
                                       القاعدة  × الارتفاع
1- مساحة المثلث أ ب ه = _________________
                                                  2

                                                20 × 15
 مساحة المثلث أ ب ه =  __________________ = 150 م2
                                                      2

                                         1
2- مساحة المثلث ب د ه =    _________ × ب د × د ه × جا ب د ه 
                                         2

                                         1
مساحة المثلث ب د ه =    _________ × 25,60 × 22 × جا 70 = 264,617 م2
                                         2

3- مساحة المثلث ب ج د : 
                                   21  +  17  +  25,6
أولا نحسب قيمة ح =   __________________   =   31,80 متر
                                             2

مساحة المثلث ب ج د =         _________________________________________
                                     /آ   ح ( ح - ب ج ) ( ح - ج د ) ( ح - د ب )

                                       _________________________________________  
مساحة المثلث ب ج د =       /آ 31.8 ( 31,8 - 21 ) ( 31,8 - 1 ) ( 31,8 - 25.6)

                                       _______________________________
مساحة المثلث ب ج د =       /آ   31,8  ×  10,8  ×  14,8  × 6,2 


مساحة المثلث ب ج د =  177 ,522 م2


اذا مساحة الشكل  أ ب ج د ه = 

مساحة المثلث أ ب ه + مساحة ب د ه + مساحة المثلث ب ج د 

اذا مساحة الشكل أ ب ج د ه = 150 + 264.617 + 177.522

                                   = 592.139 م2

وهذه الطريقة شائعة الاستعمال وهي من الطرق التي تسهل عملية حساب المساحات للأراضي ولابد للمتدرب أن يكون علي علم كافي بحساب المساحات الهندسية .


مثال :

قطعة أرض علي شكل معين تم قياس طول قطريها فكانا علي الترتيب 30,20 متر . احسب مساجة قطعة الأرض .

الحل :

                                         1
بما أن : مساحة المعين =    ______   ×  حاصل ضرب القطرين     
                                        2              
                   1
اذا : م =  ______   ×  30.20  × 25.13  = 379,463  م2     
                 2 

___________________________

مثال :

قطعة أرض علي شكل شبه منحرف (كما بالشكل) تم قياس قاعدتيه المتوازيتين علي الترتيب 12 متر , وتم قياس المسافة العمودية بين القاعدتين المتوازيتين فكانت 9 متر .

فاحسب مساحة شبة المنحرف أ ب ج د .


                                    1
مساحة شبه المنحرف = ______ × مجموع طولي القاعدتين المتوازيتين × الارتفاع 
                                   2 

                                    1
                           = ______  ×  (ق1 + ق2 ) × ع 
                                    2
                                            الحل 
                                           (12 + 17 )
اذا : مساحة شبه المنحرف =  ____________   ×  9   =   130,50 م2
                                                 2

2- مساحة الاشكال غير المنتظمة بتقسيمها إلي أشباه منحرفات 

اذا كانت قطعة الأرض المطلوب إيجاد مساحتها أحد حدودها متعرج والحد الأخر مستقيم أو كلا من حديها متعرج الشكل فإن قطعة الارض تقسم الي مجموعة من أشباه المنحرفات ونحسب مساحة كل شبه منحرف علي حده , ثم نجمع مساحات أشباه المنحرفات فنحصل علي المساحة الكلية لقطعة الارض :

مثال :

قطعة أرض كما بالشكل التالي أحد حدودها متعرج الشكل والحد الاخر مستقيم أسقطت أعمدة من النقاط أ, ب, ج, د, ه,  علي الحد المستقيم وكانت كما يلي :

أ أَ = 15.00 م  , ب ب = 12.00 م  , ج ج = 19,00 م . د د = 14,00 م , ه ه = 10.00 م وكانت المسافة بين الأعمدة علي خط القاعدة كما يلي 

أ ب = 23 م ,  ب ج = 27,00 م , ج د = 23.00 م . د ه = 28.00 م 

احسب مساحة هذه القطعة .

الحل 
                                               15.00 + 12.00
مساحة شبه المنحرف رقم 1 = ___________________ × 23.00 = 310.50 م
                                                          2

                                               12.00 + 19.00
مساحة شبه المنحرف رقم 2 = ___________________ × 27,00 = 418.50 م2
                                                          2

                                             19.00   + 14.00
مساحة شبه النحرف رقم 3  = ___________________ × 23.00 = 379.50 م2
                                                         2
        
                                               14.00  + 10.00
مساحة شبه المنحرف رقم 4 =  _________________ ×  28.00  =  336.00
      
                                                   2
المساحة الكلية لقطعة الارض =   310.50   +  418.50  + 379.50  + 336.00  = 1444.50 م2


__________________________

مثال احسب مساحة الشكل أ ب ج د اذا كانت أحداثيات رؤؤسه كما يلي 


الحل :

يوجد طرق عديدة للحل والحل الأسهل يمكن ترتيب الإحداثيات في جدول كما يلي وإجراء عمليات الضرب في اتجاه السهم كما يلي 



المساحة = 1/2 ( 114992 - 173435 ) =

= 1/2  ×  - 58443  =  29221.5 م2

مع ملاحظة إهمال الإشارة حيث أنه لا توجد مساحة بالسالب